期權定價模型

商業金融 9547 283 2014-11-14

1973年,費雪.布萊克和梅隆.斯科爾斯教授發表了期權定價模型,之後絕大多數的期權定價模型都是在這一模型的基礎上逐漸演化而成的。

期權價格是期權合約中唯一隨市場供求變化而改變的變量,它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況,是期權交易的核心問題。

 期權定價是所有金融應用領域數學上最複雜的問題之一。第一個完整的期權定價模型由Fisher Black和Myron Scholes創立並於1973年公之於世。B—S期權定價模型發表的時間和芝加哥期權交易所正式掛牌交易標準化期權合約幾乎是同時。不久,德克薩斯儀器公司就推出了裝有根據這一模型計算期權價值程序的計算器。現在,幾乎所有從事期權交易的經紀人都持有各家公司出品的此類計算機,利用按照這一模型開發的程序對交易估價。這項工作對金融創新和各種新興金融產品的面世起到了重大的推動作用。

由於推導期權定價模型的數學知識過於複雜,在這裡我們只對其進行一些簡要的介紹。

(一)、期望值和理論價值

布萊克和斯科爾斯證明了任何金融資產的公平合理的價格就是其本身的期望價值。什麼是期望價值呢?比如有一枚骰子,如果投出1點我們可以獲得1元,2點可以獲得2元,以此類推投出6點可以獲得6元,如果可以投擲無限多次,則每投擲一次平均可以得到(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5元。如果投擲骰子需收費,我們最多願意支付多少呢?如果收費為3.5元以下,則就長期而言,我們一定是贏家;但是如果費用高於3.5元,則長期而言我們一定是輸家;如果費用為3.5元,則長期而言我們不輸不贏。3.5元就是我們投擲骰子的期望價值。又如:歐元兌美元6個月後20%的可能到達1.3000、80%的可能到達1.2000、則歐元兌美元的合理公平的價值就是:(0.2*1.3)+(0.8*1.2)=1.22。

評估某基礎資產的理論價值,只考慮其期望價值還是不夠的,還需將持有成本等因素考慮進去。通過布萊克-斯科爾斯模型,可以估算出期權的理論價值,然後交易者將理論價值和市場價格比較,判斷期權價值是否高估或低估,並評估如果交易勝算有多大。

(二)、布萊克-斯科爾斯模型

布萊克-斯科爾斯模型的基本假設:基礎金融資產價格的變化類似於對數正態分佈;期權為歐式期權;沒有稅收、交易成本和保證金要求;借款和貸款均可以同樣的無風險利率進行,而且連續復利;基礎資產可以自由地買入或賣出,而且可以收取非整數單位在期權到期之前,對基礎資產不支付紅利、股息或進行其他形式的分配;基礎資產價格在考察期內是連續的,不存在跳躍性或非連續性;基礎資產價格和利率的波動性(或稱易變性)為常數。

當然,與其他理論模型一樣,以上假設在現實中是不存在的,所以嚴格說來,期權定價模型只是反映現實而並不是現實。但是期權交易者可以通過理論模型,來瞭解期權的定價機制。由於布萊克-斯科爾斯模型所具有的可靠性、連續性和完整性,其成為多數實務工作者的參考依據。在國際市場上,有許多交易者就是利用模型的理論價格和實際價格的差異,設計出交易系統來進行套利交易。

布萊克-斯科爾斯模型中有5個自變量,所以計算期權的理論價值至少需要知道下列5個數據:期權的執行價格;期權的剩餘到期時間;期權合約的目前價值;期權剩餘期間的無風險利率;基礎合約的價格波動率。如果我們知道這5項自變量的數值,將它們輸入期權的定價模型中,即可取得理論價值。

1、執行價格

行價格很容易取得,因為它是合約的一部分,在合約有效期內不變。

2、到期時間

跟執行價格一樣,到期日也是固定不變的,是合約的一部分。但是需要注意的是,布萊克—斯科爾斯模型中的輸入值都是取年度化的。如合約的剩餘期間為91天,則應該輸入0.25年。

3、基礎合約的價格

在任意時刻,基礎合約的價格都有買進和賣出的價格,究竟採用何著呢?一般情況下,如果買入看漲期權或者賣出看跌期權,則輸入模型的價格為當時的買進價格;相反,如果買入看跌期權或者賣出看漲期權,則輸入模型的價格為當時的賣出價格。

4、利率

計算是以期權合約的剩餘期間為基準的。在期權的理論價值中,利率即可以影響基礎合約的遠期價格,也可能會期權的持有成本。定價模型通常採用無風險利率(如美國國債利率)。

5、價格波動率

在所有的輸入變量中,價格波動率最重要,也最不好理解。我們將在下邊重點講述。

滾翻(roll)

價格波動率為什麼對於期權交易如此重要,需要單獨一個章節來討論?在期權交易中,交易者不但要考慮行情的發展方向,還需考慮行情發展的速度。即使對行情方向判斷正確,如果行情發展的速度不夠快,期權時間價值的下降會消耗掉期權的總體價值,可能會出現行情判斷正確卻仍然虧損的現象。價格波動率就是用來衡量行情的波動速度的。

經濟學家們假設金融市場的波動呈隨即漫步狀態,即一定時間後基礎合約價格的分佈呈正態分佈,且為對數正態分佈。而基礎合約一年之後的一個標準差就是其價格波動率,一般以百分率表示。

期權定價的方法

(1)Black—Scholes公式

(2)二項式定價方法

(3)風險中性定價方法

(4)鞅定價方法等

期權定價模型與無套利定價

 期權定價模型基於對沖證券組合的思想。投資者可建立期權與其標的股票的組合來保證確定報酬。在均衡時,此確定報酬必須得到無風險利率。期權的這一定價思想與無套利定價的思想是一致的。所謂無套利定價就是說任何零投入的投資只能得到零回報,任何非零投入的投資,只能得到與該項投資的風險所對應的平均回報,而不能獲得超額回報(超過與風險相當的報酬的利潤)。從Black-Scholes期權定價模型的推導中,不難看出期權定價本質上就是無套利定價。

期權定價的二項式模型

1979年,科克斯(Cox)、羅斯(Ross)和盧賓斯坦(Rubinsetein)的論文《期權定價:一種簡化方法》提出了二項式模型(Binomial Model),該模型建立了期權定價數值法的基礎,解決了美式期權定價的問題。

二項式模型的假設主要有:

1、不支付股票紅利。

2、交易成本與稅收為零。

3、投資者可以以無風險利率拆入或拆出資金。

4、市場無風險利率為常數。

5、股票的波動率為常數。

假設在任何一個給定時間,金融資產的價格以事先規定的比例上升或下降。如果資產價格在時間t的價格為S,它可能在時間t+△t上升至uS或下降至dS。假定對應資產價格上升至uS,期權價格也上升至Cu,如果對應資產價格下降至dS,期權價格也降至Cd。當金融資產只可能達到這兩種價格時,這一順序稱為二項程序。

有關期權的一些參數

下面將介紹一下期權交易中經常會遇到的4個主要的參數,期權交易者通常根據這些參數來衡量和評估交易的風險,並以此制定相應的交易策略。

1、δ值

δ的定義:基礎合約價格變動一單位導致期權價格的變動量,用以表示當基礎合約價格變動時,期權價格如何變動。δ值在0—1之間。嚴重損價的期權,期權合約幾乎沒有可能執行,則其δ值接近0;嚴重溢價的期權,期權合約幾乎必然會執行,則δ值接近1;而平價期權,期權合約執行的可能性為50%。

2、γ值

γ值指標衡量的是當基礎合約價格變動時,期權的δ值如何變化。(以數學方式表達,γ值是期權理論價值對基礎合約價格的第二價偏導函數)。γ值是很重要的衡量風險的參數,它衡量期權方向性的變動速度。如果頭寸的γ絕對值很大,代表高度的風險;如果頭寸的γ絕對值很小,代表低度的風險。

3、θ值

θ值表示的是期權理論價值因為時間經過而下降的速度。離到期日越近,期權的理論價值因為時間變動損耗就越大,θ值也就越大。

4、ν值

ν值是衡量價格波動率變動一個百分點所造成的期權理論價值的變動量。



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