歐拉角

科學知識 9547 233 2016-08-07

用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量,由章動角θ、旋進角(即進動角)ψ和自轉角j組成,為歐拉首先提出而得名。

基本信息

  • 中文名稱

    歐拉角

  • 外文名稱

    Euler Angle

  • 組成

    章動角θ、進動角ψ和自轉角嗞

  • 提出者

    L.歐拉

目錄
1解釋
2作用
3圖片
4應用

用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量,由章動角θ、旋進角(即進動角)ψ和自轉角j組成,為歐拉首先提出而得名。

解釋

歐拉角是用來唯一地確定定點轉動明體位置的三個一組獨立角參量,由章動角θ、進動角ψ和自轉角φ組成,為L.歐拉首先提出,故得名。它們有多種取法,下面是常見的一種。

如圖所示,由定點O作出固定坐標系Oxyz以及固連于剛體的坐標系Ox#39;y#39;z#39;。以軸Oz和Oz#39;為基本軸,其垂直面Oxy和Ox#39;y#39;為基本平面.由軸Oz量到Oz#39;的角度θ稱為章動角。平面zOz#39;的垂線ON稱為節線,它又是基本平面Ox#39;y#39;和Oxy的交線。在右手坐標系中,由ON的正端看,角θ應按逆時針方向計量。由固定軸Ox量到節線ON的角度ψ稱為進動角,由節線ON量到動軸Ox#39;的角度φ稱為自轉角。由軸Oz和Oz#39;正端看,角ψ和φ也都按逆時針方向計量。歐拉角(ψ,θ,φ)的名稱來源于天文學。

三個歐拉角是不對稱的,在幾個特殊位置上具有不確定性(當θ=0時,φ和ψ就分不開)。對不同的問題,宜取不同的軸作基本軸,并按不同的方式量取歐拉角。

若令Ox#39;y#39;z#39;的原始位置重合于Oxyz,經過相繼繞Oz、ON和Oz#39;的三次轉動Z(ψ)、N(θ)、Z#39;(φ)后,剛體將轉到圖示的任意位置(見剛體定點轉動)。變換關系可寫為:

R(ψ,θ,φ)=Z#39;(φ)N(θ)Z(φ),

式中R、Z#39;、N、Z是轉動算子,并可用矩陣表示如下:

在進行轉動算子的乘法運算時,應從最右端做起。

剛體上任一點Q在兩個坐標系中的坐標x、y、z和x#39;、y#39;、z#39;都可以通過矢徑的模和方向余弦來表出。兩組坐標之間有如下變換關系:

反變換只須在同名坐標間對調記號。

如果剛體繞通過定點O的某一軸線以角速度ω轉動,而ω在與剛體固連的活動坐標系Ox#39;y#39;z#39;上的投影為ωx#39;、ωy#39;、ωz#39;,則它們可用歐拉角及其微商表示如下:

由上式可以看出,如果已知ψ、θ、φ和時間的關系,則可用上式計算角速度ω在活動坐標軸上的三個分量;反之,如在任一瞬時已知t和ω的各個分量,也可利用上式求出ψ、θ、φ和時間t的關系,因而也就決定了剛體的運動。我們通常把上式叫做歐拉運動學方程。

靜態定義

對于在三維空間里的一個參考系,任何坐標系的取向,都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系,是靜止不動的。而坐標系則固定于剛體,隨著剛體的旋轉而旋轉。

參閱右圖。設定 xyz-軸為參考系的參考軸。稱 xy-平面與 XY-平面的相交為交點線,用英文字母(N)代表。zxz 順規的歐拉角可以靜態地這樣定義:

α 是 x-軸與交點線的夾角,β 是 z-軸與Z-軸的夾角,γ 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地,對于夾角的順序和標記,夾角的兩個軸的指定,并沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時,我們必須明確的表示出夾角的順序,指定其參考軸。

實際上,有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外,不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述,或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此,使用歐拉角前,必須先做好明確的定義。

動態定義

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定于剛體的坐標軸的三個旋轉的復合;另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的復合。用動態的定義,我們能更了解,歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意,以下的描述,XYZ 坐標軸是旋轉的剛體坐標軸;而 xyz 坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

作用

歐拉角Eulerian angles用來確定定點轉動剛體位置的3個一組獨立角參量,由章動角 θ、旋進角(即進動角)ψ和自轉角j組成。為歐拉首先提出而得名。它們有多種取法,下面是常見的一種。如圖所示,由定點O作出固定坐標系 Oxyz和固連于剛體的動坐標系Ox′y′z′。以軸Oz和Oz′為基本軸,其垂直面Oxy和Ox′y′為基本平面。由軸Oz量到Oz′的角θ稱章動角。平面zOz′的垂線ON稱節線,它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交線。在右手坐標系中,由 ON 的正端看,角θ應按逆時針方向計量。由固定軸 Ox 量到節線ON的角ψ稱旋進角;由節線ON量到動軸Ox′的角j稱自轉角。由軸 Oz 和Oz′正端看,角ψ和j也都按逆時針方向計量。若令 Ox′y′z′的初始位置與 Oxyz 重合,經過相繼繞 Oz 、ON 和 Oz′的三次轉動后,剛體將轉到圖示的任意位置。如果剛體繞通過定點 O的某一軸線以角速度ω轉動,而ω在動坐標系Ox′y′z′上的投影為ωx′、ωy′、ωz′,則它們可用歐拉角及其微商表示如下:ωx′ =sinθsinj cosj,ωy′= sinθcosj-sinj,ωz′=cosθ 。如果已知 ψ、θ、j和時間的關系,則可用上式計算ω在動坐標軸上的 3個分量;反之,如已知任一瞬時t的ω各個分量,也可利用上式求出ψ、θ、j和時間t的關系,因而也就決定了剛體的運動。上式通常被稱為歐拉運動學方程。

性質

歐拉角在SO(3)上,形成了一個坐標卡(chart) ;SO(3)是在三維空間里的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的,除了一個極坐標式的奇點在 β=0 。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2);復數二維空間里旋轉的特殊酉群;這里, β值在0與2π之間。這些角也稱為歐拉角。

圖片

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應用

應用研究

歐拉角廣泛地被應用于經典力學中的剛體研究,與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上,xyz坐標系是全局坐標系, XYZ 坐標系是局部坐標系。全局坐標系是不動的;而局部坐標系牢嵌于剛體內。關于動能的演算,通常用局部坐標系比較簡易;因為,慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量(有九個分量,其中六個是獨立的)對角線化,那么,會得到一組主軸,以及一個轉動慣量(只有三個分量)。

在量子力學里, 詳盡的描述SO(3)的形式,對于精準的演算,是非常重要的, 并且幾乎所有研究都采用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究,對于抽象群理論方法(稱為Gruppenpest),物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候;對歐拉角的信賴,在基本理論研究來說,是必要的。

歐拉角的哈爾測度

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式 ,通常在前面添上歸一化因子π2 / 8。歐拉角歐拉角單位四元數,又稱歐拉參數,提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷,概念上比較容易理解,并能避免一些技術上的問題,如萬向節鎖(gimbal lock) 現象。因為這些原因,許多高速度三維圖形程式制作都使用四元數。