層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP)是將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。該方法是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂于20世紀70年代初，在為美國國防部研究“根據各個工業部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配“課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。

基本信息

• 中文名稱

  層次分析法

• 外文名稱

  Analytic Hierarchy Process

• 性    質

  決策方法

• 簡    稱

  AHP

​基本介紹

層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡稱AHP）是將與決策總是有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，在此基礎之上進行定性和定量分析的決策方法。該方法是美國運籌學家匹茨堡大學教授薩蒂于20世紀70年代初，在為美國國防部研究根據各個工業部門對國家福利的貢獻大小而進行電力分配課題時，應用網絡系統理論和多目標綜合評價方法，提出的一種層次權重決策分析方法。層次分析法

在現實世界中，往往會遇到決策的問題，比如如何選擇旅游景點的問題，選擇升學志愿的問題等等。在決策者作出最后的決定以前，他必須考慮很多方面的因素或者判斷準則，最終通過這些準則作出選擇。 比如選擇一個旅游景點時，你可以從寧波、普陀山、浙西大峽谷、雁蕩山和楠溪江中選擇一個作為自己的旅游目的地，在進行選擇時，你所考慮的因素有旅游的費用、旅游的景色、景點的居住條件和飲食狀況以及交通狀況等等。這些因素是相互制約、相互影響的。我們將這樣的復雜系統稱為一個決策系統。這些決策系統中很多因素之間的比較往往無法用定量的方式描述，此時需要將半定性、半定量的問題轉化為定量計算問題。層次分析法是解決這類問題的行之有效的方法。層次分析法將復雜的決策系統層次化，通過逐層比較各種關聯因素的重要性來為分析以及最終的決策提供定量的依據。

詳細介紹

層次分析法的特點是在對復雜的決策問題的本質、影響因素及其內在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。尤其適合于對決策結果難于直接準確計量的場合。

層次分析法是將決策問題按總目標、各層子目標、評價準則直至具體的備投方案的順序分解為不同的層次結構，然后得用求解判斷矩陣特征向量的辦法，求得每一層次的各元素對上一層次某元素的優先權重，最后再加權和的方法遞階歸并各備擇方案對總目標的最終權重，此最終權重最大者即為最優方案。這里所謂“優先權重”是一種相對的量度，它表明各備擇方案在某一特點的評價準則或子目標，標下優越程度的相對量度，以及各子目標對上一層目標而言重要程度的相對量度。層次分析法比較適合于具有分層交錯評價指標的目標系統，而且目標值又難于定量描述的決策問題。其用法是構造判斷矩陣，求出其最大特征值。及其所對應的特征向量W，歸一化后，即為某一層次指標對于上一層次某相關指標的相對重要性權值。

特點介紹

優勢

1. 系統性的分析方法

層次分析法把研究對象作為一個系統，按照分解、比較判斷、綜合的思維方式進行決策，成為繼機理分析、統計分析之后發展起來的系統分析的重要工具。系統的思想在于不割斷各個因素對結果的影響，而層次分析法中每一層的權重設置最后都會直接或間接影響到結果，而且在每個層次中的每個因素對結果的影響程度都是量化的，非常清晰、明確。這種方法尤其可用于對無結構特性的系統評價以及多目標、多準則、多時期等的系統評價。

2. 簡潔實用的決策方法

這種方法既不單純追求高深數學，又不片面地注重行為、邏輯、推理，而是把定性方法與定量方法有機地結合起來，使復雜的系統分解，能將人們的思維過程數學化、系統化，便于人們接受，且能把多目標、多準則又難以全部量化處理的決策問題化為多層次單目標問題，通過兩兩比較確定同一層次元素相對上一層次元素的數量關系后，最后進行簡單的數學運算。即使是具有中等文化程度的人也可了解層次分析的基本原理和掌握它的基本步驟，計算也經常簡便，并且所得結果簡單明確，容易為決策者了解和掌握。

3. 所需定量數據信息較少

層次分析法主要是從評價者對評價問題的本質、要素的理解出發，比一般的定量方法更講求定性的分析和判斷。由于層次分析法是一種模擬人們決策過程的思維方式的一種方法，層次分析法把判斷各要素的相對重要性的步驟留給了大腦，只保留人腦對要素的印象，化為簡單的權重進行計算。這種思想能處理許多用傳統的最優化技術無法著手的實際問題。

劣勢

1. 不能為決策提供新方案

層次分析法的作用是從備選方案中選擇較優者。這個作用正好說明了層次分析法只能從原有方案中進行選取，而不能為決策者提供解決問題的新方案。這樣，我們在應用層次分析法的時候，可能就會有這樣一個情況，就是我們自身的創造能力不夠，造成了我們盡管在我們想出來的眾多方案里選了一個最好的出來，但其效果仍然不夠人家企業所做出來的效果好。而對于大部分決策者來說，如果一種分析工具能替我分析出在我已知的方案里的最優者，然后指出已知方案的不足，又或者甚至再提出改進方案的話，這種分析工具才是比較完美的。但顯然，層次分析法還沒能做到這點。

2. 定量數據較少，定性成分多，不易令人信服

在如今對科學的方法的評價中，一般都認為一門科學需要比較嚴格的數學論證和完善的定量方法。但現實世界的問題和人腦考慮問題的過程很多時候并不是能簡單地用數字來說明一切的。層次分析法是一種帶有模擬人腦的決策方式的方法，因此必然帶有較多的定性色彩。這樣，當一個人應用層次分析法來做決策時，其他人就會說：為什么會是這樣？能不能用數學方法來解釋？如果不可以的話，你憑什么認為你的這個結果是對的？你說你在這個問題上認識比較深，但我也認為我的認識也比較深，可我和你的意見是不一致的，以我的觀點做出來的結果也和你的不一致，這個時候該如何解決？

比如說，對于一件衣服，我認為評價的指標是舒適度、耐用度，這樣的指標對于女士們來說，估計是比較難接受的，因為女士們對衣服的評價一般是美觀度是最主要的，對耐用度的要求比較低，甚至可以忽略不計，因為一件便宜又好看的衣服，我就穿一次也值了，根本不考慮它是否耐穿我就買了。這樣，對于一個我原本分析的‘購買衣服時的選擇方法’的題目，充其量也就只是‘男士購買衣服的選擇方法’了。也就是說，定性成分較多的時候，可能這個研究最后能解決的問題就比較少了。

對于上述這樣一個問題，其實也是有辦法解決的。如果說我的評價指標太少了，把美觀度加進去，就能解決比較多問題了。指標還不夠？我再加嘛！還不夠？再加！還不夠？！不會吧？你分析一個問題的時候考慮那么多指標，不覺得辛苦嗎？大家都知道，對于一個問題，指標太多了，大家反而會更難確定方案了。這就引出了層次分析法的第二個不足之處。

3. 指標過多時數據統計量大，且權重難以確定

當我們希望能解決較普遍的問題時，指標的選取數量很可能也就隨之增加。這就像系統結構理論里，我們要分析一般系統的結構，要搞清楚關系環，就要分析到基層次，而要分析到基層次上的相互關系時，我們要確定的關系就非常多了。指標的增加就意味著我們要構造層次更深、數量更多、規模更龐大的判斷矩陣。那么我們就需要對許多的指標進行兩兩比較的工作。由于一般情況下我們對層次分析法的兩兩比較是用1至9來說明其相對重要性，如果有越來越多的指標，我們對每兩個指標之間的重要程度的判斷可能就出現困難了，甚至會對層次單排序和總排序的一致性產生影響，使一致性檢驗不能通過，也就是說，由于客觀事物的復雜性或對事物認識的片面性，通過所構造的判斷矩陣求出的特征向量（權值）不一定是合理的。不能通過，就需要調整，在指標數量多的時候這是個很痛苦的過程，因為根據人的思維定勢，你覺得這個指標應該是比那個重要，那么就比較難調整過來，同時，也不容易發現指標的相對重要性的取值里到底是哪個有問題，哪個沒問題。這就可能花了很多時間，仍然是不能通過一致性檢驗，而更糟糕的是根本不知道哪里出現了問題。也就是說，層次分析法里面沒有辦法指出我們的判斷矩陣里哪個元素出了問題。

4. 特征值和特征向量的精確求法比較復雜

在求判斷矩陣的特征值和特征向量時，所用的方法和我們上學期多元統計所用的方法是一樣的。在二階、三階的時候，我們還比較容易處理，但隨著指標的增加，階數也隨之增加，在計算上也變得越來越困難。不過幸運的是這個缺點比較好解決，我們有三種比較常用的近似計算方法。第一種就是和法，第二種是冪法，還有一種常用方法是根法。

基本步驟

建立層次結構模型

在深入分析實際問題的基礎上，將有關的各個因素按照不同屬性自上而下地分解成若干層次，同一層的諸因素從屬于上一層的因素或對上層因素有影響，同時又支配下一層的因素或受到下層因素的作用。最上層為目標層，通常只有1個因素，最下層通常為方案或對象層，中間可以有一個或幾個層次，通常為準則或指標層。當準則過多時(譬如多于9個)應進一步分解出子準則層。

構造成對比較陣

從層次結構模型的第2層開始，對于從屬于(或影響)上一層每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1—9比較尺度構造成對比較陣，直到最下層。

計算權向量并做一致性檢驗

對于每一個成對比較陣計算最大特征根及對應特征向量，利用一致性指標、隨機一致性指標和一致性比率做一致性檢驗。若檢驗通過，特征向量(歸一化后)即為權向量：若不通過，需重新構造成對比較陣。

計算組合權向量并做組合一致性檢驗

計算最下層對目標的組合權向量，并根據公式做組合一致性檢驗，若檢驗通過，則可按照組合權向量表示的結果進行決策，否則需要重新考慮模型或重新構造那些一致性比率較大的成對比較陣。

美國運籌學家T.L.saaty于20世紀70年代提出的層次分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱AHP方法)，是對方案的多指標系統進行分析的一種層次化、結構化決策方法，它將決策者對復雜系統的決策思維過程模型化、數量化。應用這種方法，決策者通過將復雜問題分解為若干層次和若干因素，在各因素之間進行簡單的比較和計算，就可以得出不同方案的權重，為最佳方案的選擇提供依據。運用AHP方法，大體可分為以下三個步驟:

步驟1:分析系統中各因素間的關系，對同一層次各元素關于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構造兩兩比較的判斷矩陣;

步驟2:由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權重，并進行判斷矩陣的一致性檢驗;

步驟3:計算各層次對于系統的總排序權重，并進行排序。

最后，得到各方案對于總目標的總排序。

構造判斷矩陣

層次分析法的一個重要特點就是用兩兩重要性程度之比的形式表示出兩個方案的相應重要性程度等級。如對某一準則，對其下的各方案進行兩兩對比，并按其重要性程度評定等級。記為第 和第 因素的重要性之比，表3列出Saaty給出的9個重要性等級及其賦值。按兩兩比較結果構成的矩陣 稱作判斷矩陣。判斷矩陣 具有如下性質：

, 且 / ( =1,2,… ) 即 為正互反矩陣

計算權重向量

為了從判斷矩陣中提煉出有用信息，達到對事物的規律性的認識，為決策提供出科學依據，就需要計算判斷矩陣的權重向量。

定義：判斷矩陣 ，如對 … ，成立 ，則稱 滿足一致性，并稱 為一致性矩陣。

一致性矩陣A具有下列簡單性質:

1、 存在唯一的非零特征值 ,其對應的特征向量歸一化后 記為 ，叫做權重向量，且 ；

2、 的列向量之和經規范化后的向量，就是權重向量；

3、 的任一列向量經規范化后的向量，就是權重向量；

4、對 的全部列向量求每一分量的幾何平均，再規范化后的向量，就是權重向量。

因此，對于構造出的判斷矩陣，就可以求出最大特征值所對應的特征向量，然后歸一化后作為權值。根據上述定理中的性質2和性質4即得到判斷矩陣滿足一致性的條件下求取權值的方法，分別稱為和法和根法。而當判斷矩陣不滿足一致性時，用和法和根法計算權重向量則很不精確。

一致性檢驗

當判斷矩陣的階數 時，通常難于構造出滿足一致性的矩陣來。但判斷矩陣偏離一致性條件又應有一個度，為此，必須對判斷矩陣是否可接受進行鑒別，這就是一致性檢驗的內涵。

定理:設 是正互反矩陣 的最大特征值則必有 ,其中等式當且僅當 為一致性矩陣時成立。

應用上面的定理，則可以根據 是否成立來檢驗矩陣的一致性，如果 比 大得越多，則 的非一致性程度就越嚴重。因此，定義一致性指標

（1）

CI越小，說明一致性越大。考慮到一致性的偏離可能是由于隨機原因造成的，因此在檢驗判斷矩陣是否具有滿意的一致性時，還需將CI和平均隨機一致性指標RI進行比較，得出檢驗系數CR，即

（2）

如果CRlt;0.1 ，則認為該判斷矩陣通過一致性檢驗，否則就不具有滿意一致性。

其中，隨機一致性指標RI和判斷矩陣的階數有關，一般情況下，矩陣階數越大，則出現一致性隨機偏離的可能性也越大。

注意事項

如果所選的要素不合理，其含義混淆不清，或要素間的關系不正確，都會降低AHP法的結果質量，甚至導致AHP法決策失敗。

為保證遞階層次結構的合理性，需把握以下原則：

1、分解簡化問題時把握主要因素，不漏不多；

2、注意相比較元素之間的強度關系，相差太懸殊的要素不能在同一層次比較。

應用實例

1、建立遞階層次結構；

2、構造兩兩比較判斷矩陣；（正互反矩陣）

對各指標之間進行兩兩對比之后，然后按9分位比率排定各評價指標的相對優劣順序，依次構造出評價指標的判斷矩陣。

3、針對某一個標準，計算各備選元素的權重；

關于判斷矩陣權重計算的方法有兩種，即幾何平均法（根法）和規范列平均法（和法）。

（1）幾何平均法（根法）

計算判斷矩陣A各行各個元素mi的乘積；

計算mi的n次方根；

對向量進行歸一化處理；

該向量即為所求權重向量。

（2）規范列平均法（和法）

計算判斷矩陣A各行各個元素mi的和；

將A的各行元素的和進行歸一化；

該向量即為所求權重向量。

計算矩陣A的最大特征值?max

對于任意的i=1,2,…,n, 式中為向量AW的第i個元素

（4）一致性檢驗

構造好判斷矩陣后，需要根據判斷矩陣計算針對某一準則層各元素的相對權重，并進行一致性檢驗。雖然在構造判斷矩陣A時并不要求判斷具有一致性，但判斷偏離一致性過大也是不允許的。因此需要對判斷矩陣A進行一致性檢驗。