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二次指數平滑法

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二次指數平滑法(Second exponential smoothing method)

目錄

  • 1 什麼是二次指數平滑法
  • 2 二次指數平滑法的優點[1]
  • 3 二次指數平滑法的計算
  • 4 二次指數平滑法實例分析[2]
  • 5 參考文獻

什麼是二次指數平滑法

  二次指數平滑法是對一次指數平滑值作再一次指數平滑的方法。它不能單獨地進行預測,必須與一次指數平滑法配合,建立預測的數學模型,然後運用數學模型確定預測值。一次移動平均法的兩個限制因素線上性二次移動平均法中也才存在,線性二次指數,平滑法只利用三個數據和一個α值就可進行計算;在大多數情況下,一般更喜歡用線性二次指數平滑法作為預測方法。

二次指數平滑法的優點[1]

  二次指數平滑法實質上是將歷史數據進行加權平均作為 未來時刻的預測結果。

  它具有計算簡單、 樣本要求量較少、 適應性較強、 結果較穩定。

二次指數平滑法的計算

  線性二次指數平滑法的公式為:

  S^{(2)}_{t}=aS^{(1)}_t+(1-a)S_{t-1}^{(2)}  (1)

式中:S^{(2)}_{t},S^{(2)}_{t-1}分別為t期和t–1期的二次指數平滑值;a為平滑繫數。在S^{(1)}_{t}S^{(2)}_{t}已知的條件下,二次指數平滑法的預測模型為:

  \hat{Y}_{t+T}=a_t+b_t\cdot T  (2)

  S_{t}^{(2)}=aS^{(1)}_{t}+(1-a)S^{(2)}_{t-1}

  \begin{cases}a_t=2S^{(1)}_{t}-S^{(2)}_t\\b_t=\frac{a}{1-a}\left(S^{(1)}_t-S^{(2)}_t\right)\end{cases}  (3)

  T為預測超前期數

例5:某地1983年至1993年財政入的資料如下,試用指數平滑法求解趨勢直線方程並預測1996年的財政收入。計算過程及結果如下:

年份t財政收入(元)S^{(1)}_{t}=aY_t+(1-a)S_{t-1}^{(1)}
a=0.9 初始值為23
S_{t}^{(2)}=aS^{(1)}_{t}+(1-a)S^{(2)}_{t-1}
a=0.9 初始值為28.40
198312928.40
198423635.2434.56
198534039.5239.02
198644847.1546.14
198755453.3252.62
198866261.1360.28
198977069.068.23
199087675.3174.60
199198584.0383.09
1992109493.0092.01
199311103102.00101.00

由上表可知:S^{(1)}_0=23S^{(1)}_{11}=102S^{(2)}_0=28.4S^{(2)}_{11}=101,a=0.9 則

  a_1=2S^{(1)}_{t}-S^{(2)}_{t} a_{11}=2\times S^{(1)}_{11}-S^{(2)}_{11}=2\times102=103

  b_t=\frac{a}{1-a}(S^{(1)}_t-S^{(2)}_t)  b_{11}=\frac{0.9}{1-0.9}(102-101)=9 所求模型為:

  Y_{11+T}=103+9\cdot T

  1996年該地區財政收入預測值為: Y_{11+3}=103+9\times 3=130(萬元)

二次指數平滑法實例分析[2]

  表中第③欄是我國1978-2002年全社會客運量的資料,據期繪製散點圖,見下圖,可以看出,各年的客運量資料基本呈線性趨勢,但在幾個不同的時期直線有不同的斜率,因此考慮用變參數線性趨勢模型進行預測。具體步驟如下:

  表 我國1978-2002年全社會客運量及預測值 單位:萬人

年份時間t全社會客運量y各期的一次指數平滑值S_t^{(1)}各期的二次指數平滑值S_t^{(2)}atbt\widehat{y}_{t+1}=a_t+b_t
253993.0253993.0
19781253993253993.0253993.0253993.00.0
19792289665275396.2266834.9283957.512841.9253993.0
19803341785315229.5295871.7334587.329036.7296799.4
19814384763356949.6332518.4381380.836646.8363624.0
19825428964400158.2373102.3427214.240583.9418027.5
19836470614442431.7414699.9470163.441597.6467798.1
19847530217495102.9462941.7527264.148241.8511761.1
19858620206570164.8527275.5613054.064333.8575505.8
19869688212640993.1595506.1686480.168230.5677387.8
198710746422704250.4660752.7747748.265246.6754710.7
198811809592767455.4724774.3810136.464021.6812994.8
198912791376781807.8758994.4804621.134220.1874158.1
199013772682776332.3769397.1783267.510402.8838841.2
199114806048794161.7784255.9804067.614858.8793670.2
199215860855834177.7814209.0854146.429953.1818926.3
19931699663931651.5884674.5978628.570465.5884099.5
19941710928831028390.4970904.01085876.886229.61049094.0
19951811725961114913.81057309.91172517.686405.81172106.3
19961912453561193179.11138831.41247526.881521.51258923.5
19972013260941272928.01219289.41326566.780458.01329048.3
19982113787171336401.41289556.61383246.270267.21407024.7
19992213944131371208.41338547.71403869.148991.11453513.4
20002314785731435627.11396795.41474458.958247.71452860.1
20012415341221494724.11455552.61533895.558757.21532706.6
20022516081501562779.61519888.81605670.464336.21592652.8
2003261670006.7
2004271734342.9

  第一步,計算一次指數平滑值。取a=0.6,S_0^{(2)}=S_0^{(1)}=y_1=253993,根據一次指數平滑公式S^{(1)}=ay+(1-a)S_{-1}^{(1)},可計算各期的一次指數平滑預測值:

  1978年:S_1^{(1)}=06\times y_1+0.4\times S_0^{(1)}=0.6\times253993+0.4\times253993=253993

  1979年:S_2^{(1)}=06\times y_2+0.4\times S_1^{(1)}=0.6\times289665+0.4\times253993=275396.2

  同理可得各年的一次指數平滑預測值,見表1中第④欄。

  第二步,根據(1)式和第一步計算的 ,計算各期的二次指數平滑值,見表1中第⑤欄。如:

  S_1^{(2)}=06\times S_1^{(1)}+0.4\times S_0^{(2)}=0.6\times253993+0.4\times253993=253993

  S_2^{(2)}=06\times S_2^{(1)}+0.4\times S_1^{(2)}=0.6\times275396+0.4\times253993=266834.9

  其餘各期以此類推。

  第三步,計算各期參數變數值α、b。根據(3)式,可計算各期的α、b,分別見表第⑥、第⑦欄。如

  \begin{cases}a_2-2S_2^(1)-S_2(2)=2\times275396.2-266834.9=283957.5\\b_2=\frac{a}{1-a}(S_2^(1)-S_2(2))=\frac{0.6}{0.4}(275396.2-266834.9)=12841.9\end{cases}

  第四步,根據(4)式和(2)式分別求各期的趨勢預測值,見表中最後一欄。如:

  2000年預測值\widehat{y}_23=\widehat{y}_{22+1}=a_{22}+(b_{22})\times1=1403869.1+148991.1=1452860

  進行外推預測,則

  2003年預測值\widehat{y}_26=\widehat{y}_{25+1}=a_{25}+(b_{25})\times1=1605670.4+64336.2=1670006.7

  2004年預測值\widehat{y}_{27}=\widehat{y}_{26+1}=a_(25)+(b_{25})\times1=1605670.4+64336.2\times2=1734342.9

Image:二次指数平滑法1.jpg

  把各年的預測值繪成曲線與原時間序列的散點圖比較(見上圖),可以看出,二次指數平滑法由於考慮了時間序列在不同時期直線參數的變化,其預測值與原時間序列的擬合程度非常好。上圖中也給出了用最小二乘法擬合的趨勢直線,相比之下,用二次指數平滑法擬合的趨勢線更好地體現了原時間序列在不同時間段的變化趨勢。

參考文獻

  1. ↑ 米翠蘭.二次指數平滑法的研究與應用[J].華北煤炭醫學院學報.2000(5)
  2. ↑ 二次指數平滑法的應用.莊贇.