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切尾均值

统计方法 9547 171

切尾均值(Trimmed Mean)

什麼是切尾均值

  切尾均值又稱“截尾均值”,是指在一個數列中,去掉兩端的極端值後所計算的算術平均數。

  切尾均值是綜合了均值和中位數兩種計量優點的一種新的對集中趨勢測度的計量。切尾均值現已廣泛應用於電視大獎賽、體育比賽及需要由人們進行綜合評價的競賽項目,我們在電視中所熟悉的“去掉一個最高分,去掉一個最低分,最後得分是×分”就是利用切尾均值方法進行的評估。

切尾均值的計算

  切尾均值的計算公式:

  \bar{X}_a=\frac{X_{([n\bar{a}]+1)}+X_{([n\bar{a}]+2)}+\cdots+X_{(n-[n\bar{a}])}}{n-2.[na]}

  式中:n表示觀察值的個數;a表示由人們決定的大於等於0又小於\frac{1}{2}的繫數,即0≤a<\frac{1}{2};[ ]表示取整數,X_{(1)},X_{(2)},\cdots,X_{(n)}表示X_1,X_2,\cdots,X_n的順序統計量。切尾均值的計算特點是先將觀察值兩端的個別極大或極小值切去,然後再對中間的觀察值進行平均。兩端各切去幾個數值,通過我們給定a值加以確定。當a=0時,切尾均值等於均值:當a接近1/2時,切尾均值接近於或等於中位數。例如某次比賽共有11名評委,對某位歌手的給分分別是 9.22、9.25、9.20、9.30、9.65、9.30、9.27、9.20、9.28、9.25、9.24經整理,順序統計量為9.20、9.20、9.22、9.24、9.25、9.25、9.27、9.28、9.30、9.30、9.65,如去掉一個 最高分,去掉一個最低分,則取a=1/11,切尾均值為:

=\frac{X_{([11.\frac{1}{11}]+1)}+X_{([11.\frac{1}{11}]+2)}+\cdots+X_{(11-[11.\frac{1}{11}])}}{11-2.[11.\frac{1}{11}]}
=\frac{X_{(2)}+X_{(3)}+\cdots+X_{(10)}}{11-2}
=\frac{9.20+9.22+\cdots+9.30}{9}
=9.26

  這個平均得分避免了9.65 分這個極端高分的影響。如取a=0

  \bar{X}_0=\frac{X_{(1)}+X_{(2)}+\cdots+X_{(11)}}{11}=9.26

  即\bar{X}_0=\bar{X};如果a=\frac{5}{11}

  \bar{X}_{\frac{5}{11}}=\frac{X_{(6)}}{1}=X_{(6)}=9.25

  即X5 > 11 = Me。可見,切尾均值是綜合了均值與中位數優點的一種較理想的統計量。