香港公司

多元非線性回歸分析

决策预测 9547 171

目錄

  • 1 什麼是多元非線性回歸分析
  • 2 多元非線性回歸分析方程
  • 3 多元非線性回歸分析模型[1]
  • 4 參考文獻

什麼是多元非線性回歸分析

  多元非線性回歸分析是指包含兩個以上變數的非線性回歸模型。對多元非線性回歸模型求解的傳統做法,仍然是想辦法把它轉化成標準的線性形式的多元回歸模型來處理。有些非線性回歸模型,經過適當的數學變換,便能得到它的線性化的表達形式,但對另外一些非線性回歸模型,僅僅做變數變換根本無濟於事。屬於前一情況的非線性回歸模型,一般稱為內蘊的線性回歸,而後者則稱之為內蘊的非線性回歸。

多元非線性回歸分析方程

  如果自變數X_1,X_2,\cdots,X_m與依變數Y皆具非線性關係,或者有的為非線性有的為線性,則選用多元非線性回歸方程是恰當的。例如,二元二次多項式回歸方程為:

  \widehat{y}=a+b_{11}x_1+b_{21}x_2+b_{12}x_1^2+b_{22}x_2^2+b_{11\times22}x_1x_2

  令b_1=b_{11},b_2=b_{21},b_3=b_{12},b_4=b_{22},b_5=b_{11\times22},及x_3=x_1^2,x_4=x_2^2,x_5=x_1\cdot x_2,於是上式化為五元一次線性回歸方程:

  \widehat{y}=a+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_4x_4+b_5x_5

  這樣以來,便可按多元線性回歸分析的方法,計算各偏回歸繫數,建立二元二次多項式回歸方程。

多元非線性回歸分析模型[1]

  一、常見的內蘊多元性回歸模型

  只要對模型中的變數進行數學變換,比如自然對數變換等,就可以將其轉化具有標準形式特征的多元線性回歸模型。

  1.多重彈性模型

  (y_1;x_{11},x_{12}\cdots,x_{1k}),(y_2;x_{21},x_{22}\cdots,x_{2k}),\cdots,(y_n;x_{n1},x_{n2}\cdots,x_{nk})是一組對的樣本觀察資料,則稱存在下列關係的非線性回歸模型為多重彈性模型

  y_i=\beta_0x_{i1}^{\beta_1}x_{i2}^{\beta_2}\cdots x_{ik}^{\beta_k}e^{\epsilon_{i}}  (1)

  上述模型中的各解釋變數的冪,能夠說明解釋變數的相對變化對被解釋變數產生的相對影響,我們正式從這一角度說它是多重彈性模型的。

  2.Cobb-Dauglas生產函數模型

  y_i=AK_{i}^aL_i^{\beta}e^{\epsilon_{i}},i=1,2,\cdots,n  (2)

  其中,yi表示產出總量,Ki為資本要素,Li為勞動力要素,A、α、β為參數。比較式(1)和(2),不難看出C-D生產函數模型實際是多重彈性模型的簡化或特殊形式。

  3.總成本函數模型

  用yi表示總成本,xi表示產出規模,則稱具有如下關係的回歸模型為總成本函數模型

  y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_3x_i^3+\epsilon_i,i=1,2,…,n  (3)

  總成本函數是多項式函數的特殊形式,更為一般的情況就是多項式回歸模型:

  y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\beta_2x_i^2+\beta_kx_i^k+\epsilon_i,i=1,2,…,n   (4)

  多項式回歸模型從寬鬆的角度講,可以不把它看成是非線性回歸模型,在這裡主要是用來說明一下問題,把它看成內蘊的線性回歸模型也無妨。

  二、內蘊的非線性回歸模型

  內蘊非線性回歸模型的形式有很多種,大部分難以根據經濟含義進行稱呼,下麵,列出幾個以幫助大家增加認識。

  (1)CES生產函數模型

  y_i=A(\delta_1K_i^{-\rho}+\delta_2L_i^{-\rho})\epsilon_i,i=1,2,…,n  (5)

  (2)隨機項表現為加法的C-D生產函數模型

  y_i=AK_i^\alpha+L_i^\beta+\epsilon_i,i=1,2,…,n  (6)

  (3)其他形式的內蘊非線性函數模型,如

  y_i=\beta_0+\beta_1x_{i1}^{\beta_{1}}+\beta_2x_{i2}^{\beta_{2}}+\cdots+\beta_kx_{ik}^{\beta_{k}}+\epsilon_i,i=1,2,…,n  (7)

  三、多元非線性回歸模型的求解問題

  對內蘊的線性回歸模型,可以通過對模型中的變數或樣本數據進行變換,將其轉化成具有標準線性形式特征的回歸模型,然後再運用前面介紹的模型估計方法進行估計,便能間接地達到目的。比如對於式(2),它的變換過程為

  對式(2)兩邊求對數

  lnyi = lnA + αlnKi + βlnLi + εi

  令y^\prime_i=\ln y_i,A^\prime=ln A,K_i^\prime=ln K_i,L_i^\prime=ln L_i,則得

  y^\prime_i=A^\prime+\alpha K_i^\prime+\beta L_i^\prime+\epsilon_i,i=1,2,…,n

  這是標準的二元線性回歸問題,可據之估計出A^\prime、α和β.

參考文獻

  1. ↑ 耿修林.商務經濟統計學[M].科學出版社,2003年11月第1版.