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阿羅的不可能定理

博弈论 9547 171

阿羅的不可能定理(Arrow's Impossibility Theorem)

目錄

  • 1 阿羅的不可能定理概述[1]
  • 2 阿羅不可能定理的孕育和誕生
  • 3 阿羅的不可能定理的內容[2]
  • 4 阿羅的不可能定理的推理及學者的評價
  • 5 阿羅不可能定理的現實意義[2]
  • 6 阿羅不可能定理的案例[5]
    • 6.1 案例1:阿羅不可能定理——少數服從多數原則的局限性
  • 7 參考文獻

阿羅的不可能定理概述[1]

  阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。

  1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅(Kenneth J.Arrow)在他的現在已經成為經濟學經典著作的《社會選擇與個人價值》一書中,採用數學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數人意願的領導者或者說“將每個個體表達的先後次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結果,他得出了一個驚人的結論:絕大多數情況下是——不可能的!更準確的表達則是:當至少有三名候選人和兩位選民時,不存在滿足阿羅公理選舉規則。或者也可以說是:隨著候選人和選民的增加,“程式民主”必將越來越遠離“實質民主”。從而給出了證明一個不可思議的定理

:假如有一個非常民主的群體,或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會,對它來說,群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地,對於最應該做的事情,群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策,就要建立一個公正而一致的程式,能把個體的偏好結合起來,達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序,對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。

阿羅不可能定理的孕育和誕生

  阿羅不可能定理的證明並不難,但是需要嚴格的數學邏輯思維。關於這個定理還有一段情節頗為曲折的故事。

  阿羅在大學期間就迷上了數學邏輯:讀四年級的時候, 波蘭大邏輯學家塔斯基(Tarski) 到阿羅所在的大學講了一年的關係演算, 阿羅在他那裡接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前. 阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢。

管理定律
AL續
安慰劑效應盧維斯定理
阿爾巴德定理藍斯登定律
暗箱模式藍斯登原則
阿爾布萊特法則垃圾桶理論
阿姆斯特朗法則藍柏格定理
阿什法則雷鮑夫法則
艾奇布恩定理懶螞蟻效應
阿羅的不可能
定理
牢騷效應
艾德華定理

洛克忠告
艾科卡用人法則拉圖爾定律
阿倫森效應魯尼恩定律
暗示效應拉鋸效應
安泰效應M
氨基酸組合效應木桶原理
B墨菲定律
彼得原理蘑菇管理定律
不值得定律馬太效應
貝爾效應名片效應
保齡球效應米格—25效應
布里特定理馬蠅效應
比倫定律末位淘汰法則
柏林定律麥克萊蘭定律
巴菲特定律目標置換效應
彼得斯定律梅考克法則
白德巴定理摩斯科定理
布利丹效應美即好效應
波特定律馬斯洛理論
布利斯定理曼狄諾定律
波特法則冒進現象
布朗定律毛毛蟲效應
伯恩斯定律摩爾定律
布利斯原則木桶歪論
名人效應
拜倫法則N
冰淇淋哲學鯰魚效應
比林定律南風法則
邦尼人力定律尼倫伯格原則
玻璃天花板效應凝聚效應
巴納姆效應納爾遜原則
半途效應希爾十七項
成功原則
貝爾納效應鳥籠效應
貝勃規律O
邊際效應奧卡姆剃刀定律
菠菜法則奧格威法則
標簽效應奧狄思法則
杯子理論奧美原則
弼馬瘟效應歐弗斯托原則
搬鐵塊試驗P
C螃蟹效應
長尾理論帕累托法則
刺蝟法則

帕金森定律
長鞭效應皮格馬利翁效應
磁石法則破窗效應
磁力法則皮爾斯定律
蔡戈尼效應皮京頓定理
從眾效應皮爾·卡丹定理
權威效應披頭士法則
蔡格尼克記憶效應攀比效應
超限效應Q
全球化鏈條定律群體壓力
傳染效應喬布斯法則
參與定律犬獒效應
成事定理青蛙法則
拆屋效應喬治定理
出醜效應秋尾法則
D強手法則
多米諾骨牌效應齊加尼克效應
達維多定律情緒效應
倒金字塔管理法R
定位法則熱爐法則
大榮法則柔性管理法則
杜利奧定理儒佛爾定律
杜根定律洛克定律
迪斯忠告人性定理
燈塔效應|銳化效應
達維多夫定律S
德尼摩定律三強鼎立法則
杜嘉法則手錶定律
杜邦定律水壩式經營法
登門檻效應首因效應
疊補丁效應生態位法則
等待效應
德西效應
狄倫多定律
多看效應
E生魚片理論
250定律隧道視野效應
惡魔效應
F500強企業經
典管理法則
反暗示效應
弗洛斯特法則雙木桶理論
輻射效應失真效應
適纔適所法則
飛輪效應史坦普定理
弗里施法則史華茲論斷

肥皂水效應舍恩定理
凡勃倫效應史提爾定律
法約爾原則斯坦納定理
費斯諾定理矢澤定律
費斯法則“4+2”法則
複壯效應思維的定勢效應
反饋效應社會惰化效應
反木桶原理蘇東坡效應
弗洛伊德口誤森林效應
峰終定律
G聖人理論
聲譽磁場
光環效應T
格雷欣法則同仁法則
身體語言
古狄遜定理跳蚤效應
溝通的位差效應特雷默定律
管理溝通論踢貓效應
溝通無限論托利得定理
古德曼定理特裡法則
古德定律鐵釘效應
格利定理蛻皮效應
孤峰原理湯水效應
果子效應托伊論斷
過度理由效應投射效應
過度學習效應同群效應
功能固著心理頭魚理論
感覺剝奪實驗鴕鳥政策
鐵鍬試驗
態度改變—
糖果實驗
W
感情效應王永慶法則
共生效應韋特萊法則
箍桶理論威爾遜法則
烏茲納澤定律
H威爾德定理
花盆效應翁格瑪麗效應
花生試驗
環境蓄勢
黑洞效應
蝴蝶效應沃爾森法則
霍桑效應沃爾頓法則
華盛頓合作定律沃森定律
猴子理論王安論斷
互惠關係定律韋爾奇原則
傑亨利法則

溫德定律
海潮效應無折扣法則
橫山法則沃特曼定律
海恩法則武器效應
猴子大象法則X
赫勒法則新木桶定律
信心獲得鹹鴨蛋理論
懷特定律斜坡球體定律
哈默定律夏皮羅法則
壞蘋果法則西點軍校的
經典法則
霍布森選擇效應希望效應
海因里希法則虛榮效應
和諧定理Y
哈羅效應羊群效應理論
亞佛斯德原則
J“100-1=0”定律
酒與污水定律魚缸理論
激勵倍增法則影響世界的
100個定律
金魚缸效應蟻群效應
吉格勒定理雅格布斯定理
吉爾伯特定律印刻效應
吉格定理150定律
吉德林法則Yerkes-Dodson
法則
競爭優勢效應約翰遜效應
監獄角色模擬
實驗
野鴨精神
棘輪效應郵票效應
近因效應優先效應
經驗的邏輯
推理效應
優勢富集效應
金屬切削試驗延遲滿足實驗
K因果定律
苛希納定律異性心理
快魚法則雁陣效應
異性效應
醞釀效應
擁有效應
坎特法則Z
卡貝定律智豬博弈理論
克裡奇定理墜機理論
柯維定理自來水哲學
卡爾岑定理煮蛙效應
刻板效應自吃幼崽效應
L自我參照效應

雷尼爾效應自我選擇效應
零和博弈帳篷理論
柯維定理最高氣溫效應
卡爾岑定理詹森效應
雷尼爾效應責任分散效應
蟑螂效應
座椅舒適感
[編輯]

  後來, 阿羅考上研究生.在哈羅德·霍特林(Harold Hotelling)的指導下攻讀數理經濟學 他發現,邏輯學在經濟學中大有用武之地 就拿消費者的最優決策來說吧, 消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設廠商追求利潤最大化, 當考慮時間因素時, 因為將來的價格是未知的 廠商只能力圖使基於期望價格的期望利潤最大化。我們知道、現代經濟中的企業一般是由許多股東所共同擁有100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望,相應地根據期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那麼, 問題如何解決呢?一個自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進行投票表決, 得票最多的方案獲勝 這又是一個排序問題阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關係的傳遞性進行考察 結果輕而易舉地舉出了一個反例。

  阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣,但同時也成為他進一步研究的障礙 因為他覺得這個悖論素未謀面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論, 是由法國政治哲學家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知, 於是暫時放棄了進一步的研究。這是1947年。

  次年, 在芝加哥考爾斯(Cowles)經濟研究委員會, 阿羅出於某種原因對選擇政治學發生了濃厚的興趣: 他發現在某些條件下,“少數服從多數”的確可以成為一個合理的投票規則。但是一個月後, 他在《政治經濟學雜誌》里發現布萊克(Black)的一篇文章已捷足先登, 這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續研究下去其實還有另一層的原因,就是他一直以 嚴肅的 經濟學研究為己任, 特別是致力於運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經濟計量分析的基礎 他認為在除此以外的“旁門左道’中深究下去會分散他的精力。

  1949年夏天, 阿羅擔任蘭德公司(Rand)的顧問。這個為給美國空軍提供咨詢而建立起來的公司那時的研究範圍十分廣泛,包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨([[]Helmer]]) 的哲學家試圖將對策論應用於國家關係的研究, 但是有個問題令他感到十分棘手: 當將局中人詮釋為國家時,儘管個人的偏好是足夠清楚的, 但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他, 經濟學家已經考慮過這個問題, 並且一個恰當的形式化描述已經由伯格森(Bergson)在1938年給出。伯格森用一個叫做社會福利函數的映射來描述將個人偏好彙集成為社會偏好的問題, 它將諸個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用 雖然伯格森的敘述是基於基數效用概念的, 但是阿羅告訴赫爾墨, 不難用序數效用概念加以重新表述。於是赫爾墨順水推舟, 請阿羅為他寫一個詳細的說明,當阿羅依囑著手去做時, 他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經知道“少數服從多數“一般來說不能將個人的偏好彙集成社會的偏好, 阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之後, 阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結果。果然, 他很快就發現了這樣一個結果; 幾個星期以後, 他又對這個結果作進一步加強。

  阿羅不可能定理就這樣呱呱墜地了。

  從1947年萌發胚芽到1950年開花結果,阿羅不可能定理的問世可謂一波三折, 千呼萬喚始出來, 而且頗有點 無心插柳的意味。但是,正是在這無心背後的對科學鍥而不捨的追求,才使邏輯學在社會科學這塊他鄉異壤開出一朵千古留芳的奇葩, 這不能不說是耐人尋味的。

阿羅的不可能定理的內容[2]

  阿羅不可能定理(Arrow's impossibility theorem)的主要內容是:在非獨裁的情況下,不可能存在適用於所有個人偏好類型的社會福利函數。更具體地說,阿羅認為,任何一個合理的社會福利函數起碼應該滿足如下要求:

  ①其定義域不受限制,即它適用於所有可能的個人偏好類型。

  ②非獨裁,即社會偏好不以一個人或者少數人的偏好所決定。

  ③帕累托原則,即如果所有人都偏好A勝於B,則社會也偏好A勝於B。

  ④無關變化的獨立性,這一要求可以簡單理解為:只要所有人對A和B的偏好不變(不管對例如A和C的偏好如何變化),則社會對A和B的偏好不變。阿羅證明:滿足上述四個條件且具有傳遞性偏好次序的社會福利函數不存在。他指出,多數規則(majorityrule)的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致迴圈投票。[3]

  阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”,早在十八世紀法國思想家孔多塞就提出了著名的“投票悖論”:假設甲乙丙三人,面對ABC三個備選方案,有如圖的偏好排序。

  甲(a > b > c)

  乙(b > c > a)

  丙(c > a > b)

  註:甲(a > b > c)代表——甲偏好a勝於b,又偏好b勝於c。

  1.若取“a”、“b”對決,那麼按照偏好次序排列如下:

  甲(a > b )

  乙(b > a )

  丙(a > b )

  社會次序偏好為(a > b )

  2.若取“b”、“c”對決,那麼按照偏好次序排列如下:

  甲(b > c )

  乙(b > c )

  丙(c > b )

  社會次序偏好為(b > c )

  3.若取“a”、“c”對決,那麼按照偏好次序排列如下:

  甲(a > c )

  乙(c > a )

  丙(c > a )

  社會次序偏好為(c > a )

  於是我們得到三個社會偏好次序——(a > b )、(b > c )、(c > a ),其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實:社會偏好a勝於b、偏好b勝於c、偏好c勝於a。顯而易見,這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾,即社會偏好a勝於c,而又認為a不如c!所以按照投票的大多數規則,不能得出合理的社會偏好次序。

  阿羅不可能定理說明,依靠簡單多數的投票原則,要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序,是不可能的。這樣,一個合理的公共產品決定只能來自於一個可以勝任的公共權利機關,要想藉助於投票過程來達到協調一致的集體選擇結果,一般是不可能的。

阿羅的不可能定理的推理及學者的評價

  為了簡單起見,假定,每個個體至少有3個供排列的選項,可以用各種味道的餅干為選項的例子,如,香草餅干(V)、巧克力餅干(C)和草莓餅干(S),每一個人要形成一個序列,表示出他對3種味道的喜愛程度,如V>S>C,表示這個人最喜歡香草餅干,其次是草莓餅干,最後是巧克力餅干。設有甲乙丙三人作選擇,他們的個人偏好為:

  甲: V>C>S

  乙: C>S>V

  丙: S>V>C

  表1 投票悖論[4]

投票者對不同選擇方案的偏好次序
VCS
CSV
SVC

  用民主的多數表決方式,如果三個人都能充分表達自己的意見,則結果必然如下所示:

  首先,在V和C中選擇,甲、丙喜歡V,乙喜歡C;

  然後,在C和S中選擇,甲、乙喜歡C,丙喜歡S;

  最後,在V和S中選擇,乙、丙喜歡S,甲喜歡V。

  這樣三個人的最終表決結果如下:

  V>C,C>S,S>V可見,利用少數服從多數的投票機制,將產生不出一個令所有人滿意的結論,這就是著名的“投票悖論”(paradox of voting)。這個投票悖論最早是由康德爾賽(Coudorcet,Marquis de)在l8世紀提出的,因而該悖論又稱為“康德爾賽效應”,而利用數學對其進行論證的則是阿羅。

  用數學語言來說,即:假設群體S上有m個個體成員,群體中出現的各種事件構成一個集合X,每個個體對每一事件都有自己的態度,即每個人都對集合X有一個偏好關係 > i=1,2,…,m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為:>_5 =P(>_1 \ldots,>_m) 其中P是一種由每個個體偏好得出群體偏好的規則。按這個規則從個體排序(偏好)得到群體排序(偏好),而且這個排序符合民主社會的民主決策的各種要求。註意這個排序是自反的,即如果A>B,那麼,B<A;是可傳遞的,即如果A>B,B>C,則有A>C;並且還是完全的,即要麼A>B,要麼B>A,二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會的民主決策的各種要求是什麼,阿羅用4個公理(有時表述為5條,把公理1分為兩條)表述出這些要求。他用的是數學方法,符號化的公理和數理邏輯的證明方法,為了簡單地說明問題,我們採用了自然語言解釋。

  公理1 個體可以有任何偏好;而且是民主選擇——每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇(數學上稱為原則U—無限制原則: > i,u=1,2,… , m在x上的定義方式無任何限制)。

  公理2 不相干的選擇是互相獨立的;(數學上稱為原則I— —獨立性原則:對於X中的兩個事件X和Y,>_5=P(<_1\ldots,<_m)對它們做出的偏好判斷與X中的任何其他事件無關)。

  公理3 社會價值與個體價值之間有正向關聯;(數學上稱為原則P—一致性原則:如果對X中的兩個事件X和Y,對於所有的i都有x < iY,那麼X < sY。這裡x < iY表示X > iY不成立。就是說,每人都有同樣明確態度的兩件事,社會也應該有同樣的態度。)

  公理4 沒有獨裁者——不存在能把個體偏好強加給社會的可能。(數學上稱為原則D—— 非獨裁原則:不存在某個i,使得P<_1,\ldots,<m0)阿羅證明,滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規則是不存在的,就是著名的“阿羅不可能性定理”:如果X中的事件個數不小於3,那麼就不存在任何遵循原則U,P,I,D的規則(稱為“社會福利函數”)。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要麼是強加的,要麼就是獨裁的結果。

  換句話說,阿羅不可能性定理指出,多數規則(majorily rule)的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致迴圈投票。

  在得多數票獲勝的規則下,每個人均按照他的偏好來投票。不難看出,大多數人是偏好X勝於Y,同樣大多數人也是偏好Y勝於Z。按照邏輯上的一致性,這種偏好應當是可以傳遞的(transitivity),即大多數人偏好X勝於Z。但實際上,大多數人偏好Z勝於X。因此,以投票的多數規則來確定社會或集體的選擇會產生迴圈的結果。結果,在這些選擇方案中,沒有一個能夠獲得多數票而通過,這就是“投票悖論”,它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題,所有的公共選擇規則都難以避開這兩難境地。

  那麼,能不能設計出一個消除迴圈投票,做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結論是:根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、並且不依賴程式(agenda)的多數規則的投票方案。簡單地說,阿羅的不可能定理意味著,在通常情況下,當社會所有成員的偏好為已知時,不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序,不可能通過一定的程式準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。

  這個結果是令人震動的:一個社會不可能有完全的每個個人的自由—— 否則將導致獨裁;一個社會也不可能實現完全的自由經濟—— 否則將導致壟斷。人們對社會的認識達到一個新的高度。因此阿羅的不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的衝擊,甚至招來了上百篇文章對他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經濟學不相干的論點來駁倒阿羅的不可能定理,但又遭到肯普、黃有光和帕克斯的反駁,他們甚至建立了在給定個人次序情況下的不可能性結果。

  事實上,阿羅的不可能性定理經受住了所有技術上的批評,其基本理論從來沒有受到重大挑戰,可以說是無懈可擊的,於是阿羅不可能定理似乎成為規範經濟學發展的一個不可逾越的障礙。怎樣綜合社會個體的偏好,怎樣在理論上