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Marginal rate of substitution

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邊際替代率(Marginal rate of substitution,MRS)

目錄

  • 1 邊際替代率概述
  • 2 邊際替代率公式
  • 3 商品的邊際替代率遞減規律[2]
  • 4 邊際效用、無差異曲線和邊際替代率關係
  • 5 相關條目
  • 6 參考文獻

邊際替代率概述

  在維持效用水平或滿足程度不變的前提下,消費者增加1單位的某種商品X的消費時,所需要放棄的另一種商品Y的消費數量,被稱為商品的邊際替代率。[1]

  在帕累托最優情況下,任意兩種商品的邊際替代率是相同的。

邊際替代率公式

  商品X對商品Y的邊際替代率公式為

\mathbf{MRS_{XY}=-\frac{\Delta Q_Y}{\Delta Q_X}=-\lim_{\Delta Q_X \to      0}\frac{\Delta Q_Y}{\Delta Q_X}=-\frac{dQ_Y}{dQ_X}}

  其中

  • \mathbf{\Delta Q_X}表示商品X的變化量
  • \mathbf{\Delta Q_Y}表示商品Y的變化量

  由於\mathbf{\Delta Q_X}是增加量,而\mathbf{\Delta Q_Y}是減少量,故兩者的符號是相反的,為使\mathbf{MRS_{XY}}保持正數,必須增加一個負號。


Image:边际替代率公式.jpg

商品的邊際替代率遞減規律[2]

  在維持效用水平或滿足程度不變的前提下,隨著一種商品消費數量的連續增加,消費者為得到每一單位的這種商品所需要放棄的另一種商品的消費數量是遞減的。

  在研究商品替代關係時,我們註重的是它的絕對值,因此通常省去負號,從數學上看,MRS是沿無差異曲線作微量移動時的變化率,所以它從實際上是無差異曲線的斜率,這可從下圖中得到說明。

商品边际替代率

  用上圖表示商品的邊際替代率,橫軸為商品X數量,縱軸為商品Y數量,I為無異曲線。X對Y的邊際替代率,為X的增加數與Y的減少數之比:

  MRS_{XY}=\frac{Y_2-Y_1}{X_2-Y_2}=-\frac{AS}{SB}=-\frac{\triangle Y}{\triangle X}

  當點A沿著無異曲線I越接近點B時,\frac{\triangle Y}{\triangle X} 越接近點B切線的斜率。因此,就點B附近的微小變動來說,X對Y的邊際替代率就是無異曲線I在點B切線的斜率。

  由於消費者願意以X1X2的X換取Y2Y1的Y,說明它們的邊際效用(Marginal Utility)相等。

  \triangle X\cdot MU_X=-\triangle Y\cdot MU_Y

  -\frac{\triangle Y}{\triangle X}=\frac{MU_X}{MU_Y}

  所以,X對Y的邊際替代率,實際上是其邊際效用之比

  \mathbf{MRS_{XY}=\frac{MU_X}{MU_Y}}

  商品X對商品Y的邊際替代率,也可以用微分法求得:就任何一條無異曲線來說,由於曲線上任何一點都代表同樣的偏好,所以總效用函數可以表示為:

  TU = f(X,Y) = k

  這就是說,X,Y商品組合的任何變動都不會引起總效用的變動。對上式微分,可得:

  其中,\frac{\partial TU}{\partial X},\frac{\partial TU}{\partial Y}分別MUXMUY,即商品X,Y的邊際效用。\frac{\partial TU}{\partial X}dX,\frac{\partial TU}{\partial Y}dY分別表示X,Y的微小變動所引起TU的變動。

  由上式可得:

  -\frac{\partial TU}{\partial Y}dY=\frac{\partial TU}{\partial X}dX

  -\frac{dY}{dX}=\frac{\frac{\partial TU}{\partial X}}{\frac{\partial TU}{\partial Y}}=\frac{MU_X}{MU_Y}

  序數效用論者在分析消費者行為時提出了商品的邊際代替率遞減規律的假定。

  商品的邊際替代率遞減規律是指:在維持效用水平不變的前提下,隨著一種商品消費數量的連續增加,消費者為得到每一單位的這種商品所需要放棄的另一種商品的消費數量是遞減的。例如:在上圖中,在消費者由X點經Y、C、D點,運動到E點的過程中,隨著消費者對商品X的消費量的連續的等量的增加,消費者為得到每一單位的商品X所需放棄的商品Y的消費量是越來越少的。也就是說,對於連續的等量的商品X的變化量\triangle X_1

而言,商品Y的變化量ΔY是遞減的。

  商品的邊際替代率遞減的原因在於:當消費者處於商品X的數量較少和商品Y的數量較多的A點時,消費者會由於擁有較少數量的商品X而對每一單位的商品X較為偏好,同時,會由於擁有較多數量的商品Y而對每一單位的商品Y的偏愛程度較低。於是,每一單位的商品X所能替代的商品Y的數量是比較多的,即商品的邊際替代率是比較大。但是,隨著消費者由A點逐步運動到D點,消費者擁有的商品X的數量會越來越多,相應地,對每一單位商品X的偏愛程度會越來越低;與此同時,消費者擁的商品Y的數量會越來越少,相應地,對每一單位商品Y的偏愛程度會越來越高。於是,每一單位的商品X所能替代的商品Y的數量便越來越少。也就是說,商品的邊際替代率是遞減的。

  從幾何意義上講,商品的邊際替代率遞減表示無差異曲線的斜率的絕對值是遞減的。商品的邊際替代率遞減規律決定了無差異線的形狀凸向原點。但在某些情況下則不然:如果對於消費者來說,兩種商品是完全替代品,那麼,相應的無差異曲線為一條斜率不變的直線,商品的邊際替代率MRSXY為一常數。例如,若兩斤玉米粉總是可以完全替代一斤麵粉,則無差異曲線如圖(a)所示。如果對於消費者來說兩種商品是完全互補品

,那麼,相應的無差異曲線呈現直角形狀,與橫軸平行的無差異曲線部分的商品的邊際替代率MRSXY = 0

完全替代品和完全互补品的无差异曲线的形状 完全替代品和完全互补品的无差异曲线的形状

  與縱軸平行的無差異曲線部分的商品的邊際替代率MRS_{XY}=\infty。例如,總是要按一副眼鏡架和兩片眼鏡片的比例配合在一起,眼鏡才能夠使用。這種情況下的無差異曲線如圖(b)所示。

邊際效用、無差異曲線和邊際替代率關係

  邊際效用是增加一個單位消費品的消耗所增加的效用,他隨著消費品的增加邊際效用是遞減的

  正由於邊際效用遞減,邊際替代率遞減,從而導致無差異曲線凸向原點。

相關條目

  • 無差異曲線
  • 邊際效用

參考文獻

  1. ↑ 江緒林.解釋和嚴密化:作為理性選擇模型的羅爾斯契約論證[J].中國社會科學.2009,5
  2. ↑ 劉輝煌.西方經濟學.湖南大學.