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或然率(Probability)

目錄

  • 1 什麼是或然率
  • 2 或然率的理論
  • 3 或然率的公理[1]
  • 4 參考文獻

什麼是或然率

  或然率或然比,也叫概率和機會率:是對可能性在量上的一種科學說明和測定。它是要測定的偶然事件的數目與全部可能發生的偶然事件的總數之間的比率。如果n是可能發生的偶然事件的總數,而m是要測定的偶然事件的數目,那麼,或然率就是m/n。m和n的比值在零和一之間,如果或然率等於零,就說明沒有可能或不可能;如果或然率等於一,就說明有百分之百的可能,這時的可能就完全成了必然。測定或然率是人們實踐的需要,目前在自然科學和社會科學中得到廣泛的應用。

或然率的理論

  或然率有下列兩種理論:

  一、理論或然率(Theoretical Probability):即根據事件本性推理而得的或然率,又稱先天(Priori)或然率。例如:一枚硬幣有正反兩面,將其拋擲,其正面朝上之或然率,不待試驗即可推知其為二分之一;又例如:若一摸彩箱中共有彩券三十張,其中有獎之彩券共十張,則可推知其中獎之或然率為三分之一。

  二、經驗或然率(Empirical Probability):即根據實際現象歸納眾多次數

而得之或然率。例如:將一枚硬幣拋擲一百次,若其出現正面朝上之次數為五十二次,即稱拋擲該枚硬幣出現正面朝上之或然率為52/100=0.52;又例如:若甲縣某年內共出生嬰兒四千八百六十五人,其中男嬰為二千五百三十四人,則該縣男嬰出生之或然率即為2534/4865=0.52。此種或然率又稱後天的(Posteriori)或然率。

或然率的公理[1]

  或然率具有三個基本公理:

  公理1:P{A}≥0 P{A}代表事件A發生的或然率,這個公理表示一個事件發生的或然率必須大於0或等於0。如果一個事件A可能發生,那麼它的或然率P{A}必然大於0,假使事件A不可能出現,則它發生的或然率等乾0。換句話說,任何一事件發生的或然率不可能是負值。

  公理2:P{S}=1,S代表所有可能發生的全部事件,P{S}代表它們發生的或然率。這個公理表示在所有可能發生的各個事件中,必然有一個事件發生的或然率等於1。例如一個硬幣只有正,反兩面,投擲的結果不是正面就是反面,所有可能發生的事件共有二個,一個是出現正面,一個是出現反面。用S代表所有可能發生的事件的全體,那麼用A表示正面,用\overline{A}表示反面,這樣S與A、\overline{A}三者的關係可以表示為S=A\cup \overline{A}(U這個符號讀作“並”,意思指“或者”即A或\overline {A}

至少有一個發生。在這裡的作用與加法符號相同)。這樣投擲一枚硬幣出現正面與反面的或然率就可以寫作P\left\{s\right\}=P\left\{A\cup \overline{A}\right\}=P\left\{A\right\}+P\left\{\overline{A}\right\}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

  假設A_1,A_2,A_3\ldots這樣一些事件不能並存,互相排斥,就可以用\left\{A_1\cap A_2\cap A_3\cap\ldots\right\}=\phi表示事件同時發生不存在,也就是A_1,A_2,A_3\ldots等事件同時出現是不可能的。(\cap這個符號讀作“交”表示“乘積”指A1A2A3等事件同時發生)。由此可得:

  公理3:P\left\{A_1\cup A_2\cup A_3\right\}=P\left\{A_1\right\}+P\left\{A_2\right\}+P\left\{A_3\right\}

  公理3表示A_1,A_2,A_3\ldots這些事件中任一事件都不能與其它事件同時並存,則A1A2A3事件發生的或然率等於各個事件發生或然率之和。

  例如;在一個袋中有各色的小球10個,僅知道其中有紅球A1一個,白球A2二個,蘭球A3三個,這三個事件是互相排斥,也就是說是白球就不可能是紅球,是紅球就不可能是蘭球。如果從袋中抽取一個球,問這個球是紅、白、蘭三色中任何一色時的或然率為多少?根據公理3得

P\left\{A_1\cup A_2\cup A_3\right\}=P\left\{A_1\right\}+P\left\{A_2\right\}+P\left\{A_3\right\}=\frac{1}{10}+\frac{2}{10}+\frac{3}{10}=\frac{6}{10}

參考文獻

  1. ↑ 曹毓侯.《統計學》輔導 第一冊[M].中國展望出版社,1983年08月第1版.